La Proposición 11 de Euclides nos permite realizar la construcción de un «rectángulo áureo» a partir de un cuadrado ABCD.
La constatación del carácter áureo del rectángulo AFGD AF/FG=FG/BF determina que los rectángulos AFGD y BFGC son semejantes y por tanto éste último también es áureo.
Esto muestra el carácter auto-reproductivo del rectángulo áureo, ósea que si construyes un rectángulo áureo dentro de otro y repites el procedimiento de todos los rectángulos por siguiente serán áureos. Dicho proceso se puede realizar indefinidamente (infinito)
En efecto, si partimos de un rectángulo áureo ABCD, crando un cuadrado de lado la dimensión menor AB del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si ahora de éste sacamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el polo O de una espiral logarítmica.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. Se trata de un crecimiento gnomónico cuyo ejemplo más visualmente representativo es la concha del Nautilus.
La espiral logarítmica ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante, Descartes), espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética, Halley). J.Bernouilli fascinado por sus encantos la llamó spira mirabilis rogando que fuera grabada en su tumba.
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